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Or on sait que

$1+x+x^{2}+\ldots ={\frac {1}{1-x}}\,;$

donc on aurait, dans ce cas,

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+{\frac {x^{m}}{1-x}}\,;$

prenant les fonctions primes et substituant la valeur de $p',$ on aurait

$y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2}=(n-1)x^{m-2}+{\frac {mx^{m-1}}{1-x}}+{\frac {x^{m}}{(1-x)^{2}}},$

savoir

$y'+{\frac {(n-1)y}{x}}={\frac {n-1}{x}}+{\frac {m}{1-x}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}},$

équation également linéaire du premier ordre.

Cette méthode s’applique à des séries plus compliquées et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.

66. Soit maintenant proposée l’équation

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+x^{3},$

dans laquelle on demande l’expression de $x$ en $y.$ Cette expression peut s’obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.

En prenant les fonctions primes et secondes, on aura

$y'=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3x^{2},\quad y''=2\mathrm {B} +6x\,;$

si donc je forme la quantité

$y+(m+nx)y'+\left(p+qx+rx^{2}\right)y'',$

où $m,n,p,q,r$ sont des coefficients arbitraires, j’aurai un quadrinôme