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dont l’équation primitive peut être mise sous la forme

$x+{\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),$

$\alpha$ étant une constante arbitraire qu’il faudra déterminer en sorte que $x=0$ donne $y=0,$ conformément à la proposée. Soit $a$ la valeur de $z$ lorsque $y=0\,;$ on aura donc les deux équations

$-\mathrm {C} ={\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}\sin a,$

et

${\frac {\mathrm {B} }{3}}={\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {a}{3}}+\alpha \right),$

par lesquelles on déterminera d’abord $a,$ ensuite $\alpha .$ Après quoi on déterminera $z$ par l’équation

$\sin z={\frac {y-\mathrm {C} }{\sqrt {p\mathrm {A^{2}+C^{2}} }}},$

et l’on aura

$x=-{\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {9p+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{9}}}}\sin \left({\frac {z}{3}}+\alpha \right),$

et, comme au même sinus de $z$ répond aussi l’angle $z$ augmenté d’une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de $x$ en prenant pour $z$ ces trois valeurs $z,\ z+c,\ z+2c,$ $c$ dénotant la circonférence du cercle.

C’est le cas qu’on appelle irréductible et où les trois racines sont réelles.

Supposons, en second lieu, que le radical ${\sqrt {p\mathrm {A} ^{2}+2\mathrm {C} y-y^{2}}}$ soit imaginaire ; il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression de $y'$ par ${\sqrt {-1}},$ et l’on aura

$y'={\cfrac {3{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}}}{\sqrt {-9p+{\cfrac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}},$

quantité toute réelle.