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Ici j’observe que, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {B} }{3}}+x+{\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}},\\\mathrm {Y} =&-\mathrm {C} +y+{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}}},\end{aligned}}$

et qu’on prenne les fonctions primes, en regardant toujours $y$ comme fonction de $x,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '=&\mathrm {X} \left(-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\\\mathrm {Y} '=&y'\mathrm {Y} \left(-p\mathrm {A} ^{2}-2\mathrm {C} y+y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}},\end{aligned}}$

de sorte qu’on pourra réduire l’équation précédente à cette forme

$\mathrm {{\frac {X'}{X}}={\frac {Y'}{3Y}}} ,$

dont les deux membres ont pour fonctions primitives $\operatorname {l} \mathrm {X}$ et ${\frac {1}{3}}\operatorname {l} \mathrm {Y} .$ On aura donc cette équation primitive

$\operatorname {l} \mathrm {X} ={\frac {1}{3}}\operatorname {l} \mathrm {Y} +\operatorname {l} b,$

$b$ étant une constante arbitraire, et, passant des logarithmes aux nombres, on aura

$\mathrm {X} =b{\sqrt[{3}]{\mathrm {Y} }}.$

Pour déterminer $b,$ on fera de nouveau $x=0$ et $y=0.$ Or $\mathrm {X}$ devient ${\frac {\mathrm {B} }{3}}+{\sqrt {-9p}},$ et $\mathrm {Y}$ devient $-\mathrm {C} +{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}}}\,;$ donc on aura

$b={\cfrac {{\cfrac {1}{3}}\mathrm {B} +{\sqrt {-9p}}}{\sqrt[{3}]{-\mathrm {C} +{\sqrt {-p\mathrm {A} ^{2}}}}}}.$

Maintenant, ayant la valeur de $\mathrm {X}$ en $x,$ il est aisé d’en tirer $x\,;$ car, en carrant l’équation

${\sqrt {-9p+{\frac {2\mathrm {B} }{3}}x+x^{2}}}=\mathrm {X} -{\frac {\mathrm {B} }{3}}-x,$