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l’équation précédente, où l’on a mis ${\frac {y'}{x'}}$ pour $y',$ donnera pareillement

$y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}.$

Qu’on fasse disparaître les radicaux dans ces deux équations, qu’ensuite on prenne les fonctions primes, on aura, après avoir divisé l’une par $x',$ l’autre par $y',$

${\begin{aligned}2x''=&\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+3\mathrm {D} x^{2}+4\mathrm {E} x^{3},\\2y''=&\mathrm {B} +2\mathrm {C} y\,+3\mathrm {D} y^{2}+4\mathrm {E} y^{3}.\end{aligned}}$

Faisons $x+y=p,$ $x-y=q,$ ce qui donne

$x={\frac {p+q}{2}},\quad y={\frac {p-q}{2}}\,;$

les deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, donneront

${\begin{aligned}p''=&\mathrm {B+C} p+{\frac {3\mathrm {D} }{4}}\left(p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(p^{3}+3pq^{2}\right),\\q''=&\mathrm {C} q+{\frac {3\mathrm {D} }{2}}pq+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right).\end{aligned}}$

De plus, comme $p'q'=x'^{2}-y'^{2},$ si l’on substitue les valeurs de $x'$ et de $y'$ tirées des premières équations, on aura

$p'q'=\mathrm {B} q+\mathrm {C} pq+{\frac {\mathrm {D} }{4}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right)+{\frac {\mathrm {E} }{2}}\left(p^{3}q+pq^{3}\right).$

Maintenant je fais cette combinaison :

$qp''-p'q'={\frac {\mathrm {D} }{2}}q^{3}+\mathrm {E} pq^{3}\,;$

multipliant les deux membres par ${\frac {2p'}{q^{3}}},$ ils deviennent les fonctions primes de ${\frac {p'^{2}}{q^{2}}}$ et de $\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2},$ de sorte que j’aurai d’abord cette équation primitive du premier ordre

${\frac {p'^{2}}{q^{2}}}=\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}+a,$

où $a$ est une constante arbitraire.