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Pour la déterminer, soit $m$ la valeur de $y$ lorsque $x=0\,;$ on aura dans ce cas, par les équations ci-dessus,

$x'={\sqrt {\mathrm {A} }},\quad y'={\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} m+\mathrm {C} m^{2}+\mathrm {D} m^{3}+\mathrm {E} m^{4}}}\,;$

je fais cette dernière quantité égale à $n,$ pour abréger.

Ainsi, puisque $p=x+y,$ $q=x-y,$ $p'=x'+y',$ $q'=x'-y',$ on aura, lorsque $x=0,$

$p=m\quad q=-m\quad p'={\sqrt {\mathrm {A} }}+n\quad q'={\sqrt {\mathrm {A} }}-n.$

Faisant ces substitutions dans l’équation qu’on vient de trouver, on aura

$a={\frac {\left({\sqrt {\mathrm {A} }}+n\right)^{2}}{m^{2}}}-\mathrm {D} m-\mathrm {E} m^{2},$

où l’on voit que, puisque $m$ est une quantité indéterminée, la constante $a$ demeure aussi indéterminée ; mais les déterminations précédentes seraient utiles si, par d’autres combinaisons, on trouvait de nouvelles équations primitives avec des constantes arbitraires.

Nous avons donc l’équation

$p'=q{\sqrt {a+\mathrm {D} p+\mathrm {E} p^{2}}},$

qui, quoique du premier ordre, peut néanmoins donner tout de suite l’équation primitive en $x$ et $y$ de la proposée, puisque la valeur de $p',$ qui est $x'+y',$ est déjà connue en $x$ et $y.$ En effet, substituant les valeurs de $p,q$ et $p',$ on aura

${\begin{aligned}&{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4}}}+{\sqrt {\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {a+\mathrm {D} (x+y)+\mathrm {E} (x+y)}},\end{aligned}}$

où $a$ est la constante arbitraire.

Cette équation en $x$ et $y$ est, comme l’on voit, sous une forme assez simple, et la méthode par laquelle nous y sommes parvenus est fort remarquable ; mais cette équation n’est pas la seule qu’on puisse obtenir par les formules que nous venons de trouver.