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de $a$ et $b$ trouvées ci-dessus, et alors la quantité $m$ serait la seule constante arbitraire.

Ces dernières équations étant compliquées de radicaux, il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d’après les mêmes équations du premier ordre

$p'=a\sin q,\quad q'=b\sin p\,;$

or, en divisant l’une par l’autre, on a

${\frac {p'}{q'}}={\frac {a\sin q}{b\sin p}},$

et, multipliant en croix,

$bp'\sin p=aq'\sin q,$

d’où l’on tire tout de suite l’équation primitive

$b\cos p=a\cos q+c,$

$c$ étant une nouvelle constante arbitraire qu’il faudra déterminer comme ci-dessus. Or, en faisants $u=0$ et $z=m,$ on a

$p=q={\frac {m}{2}}\,;$

donc l’équation précédente donnera

$c=(b-a)\cos {\cfrac {m}{2}}=-{\cfrac {\mathrm {\sqrt {A+B}} \cos {\cfrac {m}{2}}}{\sin {\cfrac {m}{2}}}}.$

Substituant les valeurs de $a,b,c$ ainsi que celles de $p={\frac {z+u}{2}}$ et $q={\frac {z-u}{2}}$ dans la même équation, et faisant les réductions des sinus et cosinus, elle prendra cette forme très-simple

$\cos {\frac {z}{2}}\cos {\frac {u}{2}}+\sin {\frac {z}{2}}\sin {\frac {u}{2}}{\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos {\frac {m}{2}}\,;$