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c’est l’équation primitive de la proposée du premier ordre en $u,z$ et $z',$ et l’angle $m$ en est la constante arbitraire.

69. On peut regarder les angles ${\frac {z}{2}},{\frac {u}{2}}$ et ${\frac {m}{2}}$ comme les trois côtés d’un triangle sphérique ; il est visible qu’alors, dans l’équation précédente, la quantité ${\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}$ sera le cosinus de l’angle compris entre les côtés ${\frac {z}{2}}$ et ${\frac {u}{2}},$ et par conséquent opposé au côté ${\frac {m}{2}},$ par les formules connues de la Trigonométrie sphérique ; c’est la valeur de $z'$ lorsque $u=0$ et $z=m.$ Ainsi cet angle sera constant en même temps que le côté ${\frac {m}{2}},$ tandis que les deux autres varient.

Soit $\mathrm {M}$ cet angle constant ; on aura donc

${\frac {\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}}{\mathrm {\sqrt {A+B}} }}=\cos \mathrm {M} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {\cfrac {A}{B}} ={\cfrac {\cos ^{2}\mathrm {M} -\cos m}{\sin ^{2}\mathrm {M} }}=2\left({\cfrac {\sin {\cfrac {m}{2}}}{\sin \mathrm {M} }}\right)^{2}-1.$

Si l’on fait cette substitution dans l’équation proposée en $u,z$ et $z',$ et qu’on suppose, pour abréger, ${\cfrac {\sin \mathrm {M} }{\sin {\cfrac {m}{2}}}}=\mu ,$ elle se réduira à cette forme

$z'={\cfrac {\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {z}{2}}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}{\cfrac {u}{2}}}}},$

dont l’équation primitive sera la relation entre les côtés ${\frac {z}{2}},{\frac {u}{2}}$ et ${\frac {m}{2}}$ d’un triangle sphérique dans lequel $\mu$ sera le rapport des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, rapport qu’on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés, de sorte que, ce rapport seul étant donné, il restera l’angle ou le côté pour arbitraire.

La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus