Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/132

On aura donc successivement

$f(z)=f(u)+f(m),\quad f(y)=f(u)+2f(m),\quad f(x)=f(u)+3f(m),\quad \ldots ,$

et les relations entre $y,u$ et $m,$ entre $x,u$ et $m,$ etc., se tireront des relations précédentes, en éliminant d’abord $z,$ ensuite $y,$ etc.

On peut appliquer cette théorie à la forme générale de l’équation que nous avons considérée dans le n^o 67 et en tirer des conclusions semblables ; mais, si l’on rapporte, comme au n^o 69, les formules précédentes aux triangles sphériques, il en résulte une construction élégante que voici.

Soit formé un triangle sphérique dont les trois côtés soient $z,u,m$ (pour éviter les fractions, je substitue les quantités $2z,2u,2m$ à la place de $z,u,m$ dans les formules du numéro cité) et où l’angle entre $u$ et $m$ soit obtus ; l’angle compris entre les deux côtés $u$ et $z$ demeurant constant, qu’on transporte alternativement la base $m$ le long de ces mêmes côtés prolongés, de manière qu’il en résulte une suite de triangles, dont chacun ait toujours un côté commun avec le triangle précédent, et qui aient tous la même base $m$ et l’angle commun $\mathrm {M}$ au sommet ; alors, si les côtés qui comprennent cet angle sont successivement pour ces différents triangles $u$ et $z,$ $z$ et $y,$ $y$ et $x,\ldots ,$ on aura

$f(z)=f(u)+f(m),\quad f(y)=f(u)+2f(m),\quad f(x)=f(u)+3f(m),\quad \ldots ,$

$f(u)$ étant la fonction primitive de la fonction ${\frac {1}{\sqrt {1-\mu ^{2}\sin ^{2}u}}},$ dans laquelle $\mu ={\frac {\sin \mathrm {M} }{\sin m}},$ et ainsi des autres fonctions semblables en $z,y\ldots .$

Par cette construction, on peut trouver facilement les valeurs des côtés $y,x,\ldots$ des nouveaux triangles, car, en considérant les triangles isoscèles qui ont pour côtés la base $m$ transportée alternativement, les perpendiculaires abaissées de leurs sommets sur leurs bases respectives couperont ces bases en deux parties égales, et les triangles rectangles formés par ces perpendiculaires et par les côtés qui comprennent l’angle commun $\mathrm {M}$ donneront tout de suite, par l’analogie