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suffit d’avoir des limites de ces valeurs, on pourra faire usage de la méthode employée dans le Chapitre cité pour parvenir à des conclusions semblables à celles du n^o 39.

Ainsi, en désignant par $\lambda$ un nombre indéterminé, ou plutôt inconnu, toujours compris entre $0$ et $1,$ et qui devra être partout le même dans la même fonction, mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions, on trouvera les expressions suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y),\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left[x^{2}f''(\lambda x,\lambda y)+2xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+y^{2}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\right],\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Donc enfin, substituant ces valeurs de $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ dans les développements de $f(x,y)$ et faisant $z=1,$ on aura ces formules générales, qui renferment une extension du théorème du n^o 40

${\begin{aligned}f(x,y)=f+&xf'(\lambda x,\lambda y)+yf_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''(\lambda x,\lambda y)\\&+xyf'_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)\\\\=f+&xf'+yf_{_{'}}+{\frac {x^{2}}{2}}f''+xyf'_{_{'}}+{\frac {y^{2}}{2}}f_{_{''}}\\+&{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(\lambda x,\lambda y)+{\frac {x^{2}y}{2.3}}f''_{_{'}}(\lambda x,\lambda y)\\+&{\frac {xy^{2}}{2}}f'_{_{''}}(\lambda x,\lambda y)+{\frac {y^{3}}{2.3}}f_{_{'''}}(\lambda x,\lambda y)\\=\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on a la fonction $f(x+i,y+o)$ à développer suivant les puissances de $i$ et de $o,$ il n’y aura qu’à mettre $i$ et $o$ à la place de $x$ et $y$ dans les formules précédentes, et les quantités $f,f',f_{_{'}},\ldots$ deviendront $f(x,y),$ $f'(x,y),f_{_{'}}(x,y),\ldots ,$ où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à $x$ et $y,$ puisque la fonction $f(x+i,y+o)$ est telle, que ses dérivées relativement à $x$ et $y$ sont les mêmes que les