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Donc, ayant l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

on aura l’équation prime

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0.$

Mais, $y$ étant regardé comme une fonction indéterminée de $x,$ l’équation précédente doit avoir lieu quelle que soit la fonction $y'\,;$ elle se décomposera donc en ces deux-ci,

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

comme plus haut.

On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées des ordres supérieurs.

83. Cela posé, considérons en général l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0\,;$

elle donne les deux équations primes

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0,$

qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi et pourra, par conséquent, tenir lieu de l’équation primitive.

Soient $a$ et $b$ deux constantes quelconques contenues dans la fonction $\operatorname {F} (x,y,z)\,;$ ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\ \operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z)\,;$ ainsi l’on pourra, au moyen des trois équations dont il s’agit, éliminer ces deux constantes, et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si l’on n’a pour la détermination de $z$ en $x$ et $y$ qu’une équation du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}},$ l’équation primitive entre $x,y$ et $z$ devra contenir deux constantes arbitraires.

Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions