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d’une seule variable (n^o 46) ; mais nous avons vu aussi (n^o 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l’équation primitive peut n’être pas constante et donner cependant, par l’élimination, la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici ; et il est aisé de concevoir qu’on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires $a$ et $b,$ quoiqu’elles ne soient pas constantes, pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.

Désignons simplement par $\operatorname {F} '(a)$ et $\operatorname {F} '(b)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement aux quantités $a$ et $b$ contenues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir, par les principes établis, que, si $a$ et $b$ sont regardés comme des fonctions de $x$ et $y,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,z)$ relative à $x$ devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables $a$ et $b,$ de la quantité $a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b),$ et que la fonction prime relative à $y$ devra être augmentée pareillement de $a_{_{'}}\operatorname {F} '(a)+b_{_{'}}\operatorname {F} '(b).$

Supposons $b=f(a)\,;$ on aura, en prenant les fonctions primes relativement à $x$ et $y,$

$b'=a'f'(a),\quad b_{_{'}}=a_{_{'}}f'(a)\,;$

donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront

$a'[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)],\quad a_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)\right]\,;$

par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant $a$ telle qu’elle satisfasse à l’équation

$\operatorname {F} '(a)+f'(a)\operatorname {F} '(b)=0,$

la fonction $f(a)$ de $a,$ qu’on a prise pour $b,$ demeurant absolument arbitraire.

De là résultent donc ces conclusions importantes :

1^o Que l’équation primitive qui satisfait, en général, à une équation du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire ;

2^o Que, si pour une équation donnée du premier ordre on trouve une équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$