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CHAPITRE XV.

Formule remarquable pour le développement en série d’une fonction quelconque de l’inconnue $z$ de l’équation $z=x+yf(z).$

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85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à faire disparaître une fonction quelconque est très-utile dans beaucoup d’\alphacasions, et surtout pour les développements en série.

Pour en donner un exemple, soit proposée l’équation

$z=x+yf(x)$

pour la détermination de $z,$ $f(z)$ étant une fonction quelconque de $z,$ et supposons qu’on demande la valeur de $z$ en série suivant les puissances de $y\,;$ il est visible que les deux premiers termes seront $x+yf(x),$ et si, pour trouver les termes suivants, on suppose

$z=x+yf(x)+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y^{3}+\ldots ,$

il faudra développer la fonction $f(z)$ suivant les puissances de $y$ et comparer ensuite les termes pour pouvoir déterminer les valeurs de $\mathrm {A,B} ,\ldots .$ Mais, de cette manière, on n’aurait pas la loi de ces valeurs ; il y aura donc de l’avantage à employer, au lieu de l’équation proposée, une équation du premier ordre où la fonction $f(z)$ ne se trouve pas.

Prenant donc les équations primes suivant $x$ et suivant $y,$ on aura

$z'=1+yf'(z)z',\quad z_{_{'}}=f(z)+yf'(z)z_{_{'}},$

en dénotant par $f'(z)$ la fonction prime de $f(z)$ relativement à $z,$ d’où,