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Le résultat de cette élimination est

${\frac {\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)}{f'(x)+z'f'(z)}}={\frac {\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)}{f'(y)+z_{_{'}}f'(z)}},$

d’où résulte cette équation du premier ordre

$\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)+z'\left[\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)\right]$

$+z_{_{'}}\left[\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)\right]=0,$

qui ne contient que $x,y,z$ avec les fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}.$

Cette équation pourra donc être mise sous cette forme

$z'+\mathrm {M} z_{_{'}}+\mathrm {N} =0,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(z)-\operatorname {F} '(z)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\\\mathrm {N} \,=&{\frac {\operatorname {F} '(x)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(x)}{\operatorname {F} '(z)f'(y)-\operatorname {F} '(y)f'(z)}},\end{aligned}}$

d’où l’on peut conclure :

1^o Que toutes les équations du premier ordre entre $x,y,z'$ et $z_{_{'}}$ qui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre $x,y,z$ et $\varphi (p),$ $p$ étant une fonction de $x,y,z\,;$

2^o Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée $\operatorname {F} (x,y,z)=\varphi (p),$ $p$ étant égal à $f(x,y,z).$

Car les valeurs des coefficients $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant données en fonction de $x,y,$ on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques $\operatorname {F}$ et $f,$ et la fonction marquée pour $\varphi$ demeurera arbitraire.

Ce problème étant l’un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.

90. Regardons, ce qui est permis, $y$ et $z$ comme des fonctions de $x$ dont les fonctions primes soient $y'$ et $z',$ et considérons les deux quan-