dont la première contiendra et dont la seconde ne contiendra point celle-ci servira à éliminer l’inconnue la première, jointe à son équation primitive, servira à éliminer l’inconnue
Cette méthode a l’avantage de pouvoir s’appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction
En effet, si l’on avait l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} \left[x,y,z,\varphi (p),\psi (p)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80eff21f7b5dda4d1743f88b516c98b4e3d75765)
on trouverait d’abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction mais qui contiendrait encore la fonction ensuite, appliquant à cette équation le même procédé et éliminant de nouveau la fonction qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra et d’où l’on éliminera cette fonction par le moyen de l’équation du premier ordre ; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantité
Mais, si l’équation proposée contenait les fonctions et et étant des fonctions différentes de on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions et et de leurs dérivées ; il faudrait alors passer à des équations d’un ordre supérieur.
89. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l’élimination d’une fonction arbitraire et supposons, pour plus de simplicité, ce qui est toujours possible, que l’équation primitive soit de la forme
on aura alors les deux équations primes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)+y'\left[\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)\right]=0,\\f'(x)\,+z'\ f'(z)+y'\left[f'(y)+z_{_{'}}\ f'(z)\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f97ca3311707170acb696721597e08d625cee0)
qui seront délivrées de et il ne s’agira plus que d’éliminer
