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fonction quelconque de $p,q,$ on trouvera, par une analyse semblable à celle du n^o 89, et regardant $y$ et $z$ comme des fonctions de $x$ dont on déterminera les fonctions primes $y'$ et $z'$ par la supposition que $p$ et $q$ demeurent constantes, on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction $\varphi ,$ de la forme suivante,

$u'+\mathrm {L} u_{_{'}}+\mathrm {M} _{_{'}}u+\mathrm {N} =0,$

$\mathrm {L,M,N}$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ et $u',u_{_{'}},$ $\,_{_{'}}\!u$ étant les fonctions primes de $u$ relativement à $x,y$ et $z,$ de sorte que toute équation entre $x,y,z,u$ et les fonctions primes de $u$ qui ne serait pas de cette forme ne pourra pas être dérivée d’une équation primitive de la forme ci-dessus.

Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera aussi, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, que, si l’on regarde $y,z,u$ comme des fonctions de $x$ déterminées par ces trois équations du premier ordre,

$u'+\mathrm {N} =0,\quad \mathrm {L} u'+\mathrm {N} y'=0,\quad \mathrm {M} u'+\mathrm {N} z'=0,$

et qu’on en cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires $a,b,c,$ qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l’on ait

$a=\mathrm {P} ,\quad b=\mathrm {Q} ,\quad c=\mathrm {R} ,$

$\mathrm {P,Q,R}$ étant des fonctions données de $x,y,z,u,$ on aura sur-lechamp

$\mathrm {P=\varphi (Q,R)}$

pour l’équation primitive de l’équation proposée, dans laquelle $\varphi (\mathrm {P,Q} )$ sera une fonction arbitraire de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Cette méthode est présentée d’une manière plus simple et plus directe dans la Leçon XX du Calcul des fonctions^[1], à laquelle nous nous contentons de renvoyer.

1. Œuvres de Lagrange, t. X.