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92. Mais, si l’on avait, pour la détermination de $z$ en fonction de $x$ et $y,$ une équation quelconque du premier ordre entre $x,y,z,z'$ et $z_{_{'}}$ non réductible à la forme du n^o 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de l’équation proposée, la ramener à la forme du n^o 91 en y introduisant une variable de plus.

Soit donc proposée l’équation

$z'=\operatorname {F} (x,y,z,z_{_{'}}),$

la fonction indiquée par la caractéristique $\operatorname {F}$ étant donnée ; je suppose $z_{_{'}}=u,$ et, comme $z$ est fonction de $x,y,$ il est clair que $u$ sera aussi fonction de $x,y\,;$ donc, prenant les fonctions primes relativement à $x$ seul, on aura $z'_{_{'}}=u'.$ Maintenant, l’équation proposée deviendra

$z'=\operatorname {F} (x,y,z,u)\,;$

prenant les fonctions primes relativement à $y$ seul, et observant que $z$ et $u$ sont fonctions de $x,y,$ on aura

$z'_{_{'}}=\operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {F} '(u),$

où les quantités $\operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z),\ \operatorname {F} '(u)$ dénotent les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z,u)$ prises relativement aux variables isolées $y,z,u,$ ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ; donc, substituant $u$ et $u'$ pour $z_{_{'}}$ et $z'_{_{'}},$ on aura l’équation

$u'=\operatorname {F} '(y)+u\operatorname {F} '(z)+u_{_{'}}\operatorname {\operatorname {F} } '(u),$

dans laquelle les quantités $\operatorname {F} '(y),\ \operatorname {F} '(z),\ \operatorname {F} '(u)$ seront des fonctions données de $x,y,z$ et $u.$

Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente si $u$ était une fonction des variables $x,y,z,$ regardées comme indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder comme telles et de regarder en même temps $u$ comme une simple fonction de $x,y,z$, pourvu qu’on exprime, d’une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes $u'$ et $u_{_{'}}$ qui se rapportent aux seules variables $x$ et $y.$