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on aura

$z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\left[\operatorname {F} (x)+b\right]e^{\mathrm {B} x}.$

Cette valeur de $z$ n’est que particulière ; mais, comme elle contient les deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ elle donnera la valeur générale si l’on fait $b=\varphi (a)$ et que l’on détermine $a$ par l’équation

$y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,$

en désignant par $\operatorname {F} '(a)$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x)$ prise relativement à $a.$

Si $\mathrm {B} =0,$ le calcul devient plus simple, et l’on trouvera, en faisant $f(x,\mathrm {A} x+a)=\operatorname {F} '(x),$ les deux équations

$z=(\mathrm {A} x+a)y+\operatorname {F} (x)+\varphi (a),$

$y+\operatorname {F} '(a)+\varphi '(a)=0,$

d’où il faudra éliminer $a.$

95. Cette dernière méthode est néanmoins sujette à quelques difficultés que nous avons résolues complétement dans la même Leçon XX déjà citée, où cette matière est envisagée d’une manière plus générale que nous ne l’avons fait ici.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce qui regarde les fonctions de plusieurs variables. Ceux qui connaissent le Calcul qu’on appelle aux différences partielles pourront aisément le rapprocher de l’analyse de ces fonctions et donner par là à cette analyse les développements qu’on y pourrait encore désirer.

Notre objet, dans cette première Partie, n’a été que d’établir la théorie des fonctions et des équations dérivées d’une manière purement analytique et indépendante de toute supposition ou considération étrangère.