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donc, passant des fonctions primes relatives à $y$ seul aux fonctions primitives, on aura l’équation primitive

$z=\left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+p,$

$p$ étant une fonction quelconque de $x$ qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à $y$ est nulle.

De cette expression de $z$ on tirera celles des deux fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}$ relatives à $x$ et $y,$ et l’on aura

${\begin{aligned}z'=&a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p',\\z_{_{'}}=&-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\,;\end{aligned}}$

ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée, elle deviendra

$a\mathrm {B} e^{\mathrm {B} x}y+p'=\mathrm {A} y+\mathrm {B} \left(-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)y+\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),$

laquelle se réduit à

$p'=\mathrm {B} p+f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right),$

où l’on voit que les $y$ ont disparu, de manière qu’on pourra déterminer $p$ en fonction de $x$ seul.

Qu’on multiplie cette équation par $e^{-\mathrm {B} x}$ et qu’on suppose

$e^{-\mathrm {B} x}f\left(x,-\mathrm {\frac {A}{B}} +ae^{\mathrm {B} x}\right)=\operatorname {F} '(x),$

elle deviendra

$\left(pe^{-\mathrm {B} x}\right)'=\operatorname {F} '(x),$

et, passant aux fonctions primitives, on aura

$pe^{-\mathrm {B} x}=\operatorname {F} (x)+b,$

$b$ étant une constante arbitraire. De là on tire

$p=e^{\mathrm {B} x}\left[\operatorname {F} (x)+b\right]\,;$

donc, substituant cette valeur dans l’expression de $z$ trouvée ci-dessus,