direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite, et ces différentes manières de considérer les tangentes ont donné lieu aux méthodes algébriques fondées sur l’égalité des racines des équations et aux méthodes différentielles fondées sur le rapport des différences infiniment petites ou des fluxions des coordonnées. Ces méthodes ne laissent rien à désirer pour la généralité et la simplicité ; mais ceux qui admirent avec raison l’évidence et la rigueur des anciennes démonstrations regrettent de ne pas trouver ces avantages dans les principes de ces nouvelles méthodes. La théorie des fonctions que nous avons développée dans la première Partie nous met en état de traiter le problème des tangentes et les autres problèmes du même genre d’après les notions et les principes des anciens, et de donner ainsi aux résultats de l’Analyse le caractère qui distingue leurs solutions.
2. Pour considérer ces questions d’une manière générale, soient
l’équation d’une courbe quelconque proposée et
l’équation d’une ligne droite ou d’une autre courbe qu’on veut comparer à celle-là ; et sont l’abscisse et l’ordonnée de la première courbe ; et sont aussi l’abscisse et l’ordonnée de l’autre courbe, rapportées aux mêmes axes que et
Pour que ces deux courbes aient un point commun relatif à l’abscisse il faut que, en faisant on ait donc et, par conséquent,
Pour comparer maintenant le cours de ces courbes au delà de ce point, on mettra dans leurs équations à la place de et de et l’on aura et pour les ordonnées répondant au même point de l’axe des et éloignées de la quantité de l’ordonnée qui passe par le point commun. Donc la différence de ces ordonnées sera
