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$f(x+i)-\operatorname {F} (x+i),$ savoir, en développant les fonctions et observant que l’on a déjà $f(x)-\operatorname {F} (x)=0,$

$i\left[f'(x)-\operatorname {F} '(x)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x)-\operatorname {F} ''(x)\right]+{\frac {i^{3}}{2.3}}\left[f'''(x)-\operatorname {F} '''(x)\right]+\ldots ,$

et cette différence exprimera la distance des points des deux courbes qui répondent à la même abscisse $x+i.$

On voit d’abord, en général, que cette distance sera d’autant plus petite et que, par conséquent, les courbes se rapprocheront d’autant plus qu’il y aura plus de termes qui disparaîtront au commencement de cette série.

Ainsi le rapprochement sera plus grand si l’on a $f'(x)=\operatorname {F} '(x),$ c’est-à-dire si les fonctions primes des ordonnées des deux courbes deviennent égales pour la même abscisse $x\,;$ il sera plus grand encore si, de plus, les fonctions secondes $f''(x)$ et $\operatorname {F} ''(x)$ des mêmes ordonnées deviennent aussi égales, et ainsi de suite.

3. Mais, pour voir de plus près en quoi consistent ces différents degrés de rapprochement, nous considérerons une troisième courbe quelconque, rapportée aux mêmes axes par les coordonnées $r$ et $s,$ et dont l’équation soit

$s=\varphi (r),$

et nous supposerons d’abord qu’elle ait aussi avec les deux autres un point commun pour la même abscisse $x,$ ce qui exige que les ordonnées à cette abscisse soient égales, et, par conséquent, que l’on ait aussi

$\varphi (x)=f(x)=\operatorname {F} (x).$

Soient $\mathrm {D}$ la différence des ordonnées des deux premières courbes pour la même abscisse $x+i,$ et $\Delta$ la différence des ordonnées de la première courbe et de la troisième pour cette même abscisse $x+i\,;$ on aura

$\mathrm {D} =f(x+i)-\operatorname {F} (x+i),$

et de même

$\Delta =f(x+i)-\varphi (x+i).$