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Dans l’équation de la ligne droite

$q=a+bp,$

il est aisé de voir que $b$ exprime la tangente de l’angle que cette droite fait avec l’axe et que $-{\frac {a}{b}}$ est l’abscisse qui répond au point où la même droite coupe l’axe. Donc, cette droite étant tangente à la courbe au point où $p=x,$ $y'$ sera la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’axe, et $x+{\frac {a}{b}}={\frac {y}{y'}}$ sera ce qu’on appelle la sous-tangente.

7. Représentons par

$s=\alpha +\beta r$

une autre droite qui passe par le même point de la courbe, $r$ et $s$ étant les deux coordonnées de cette droite ; on aura pour ce point

$r=p=x,\quad {\text{et}}\quad s=q=y\,;$

donc

$a+bx=\alpha +\beta x.$

Pour que cette droite coupe la première sous un angle dont la tangente soit $m,$ comme $b$ et $\beta$ sont les tangentes des angles que ces deux droites font avec le même axe, on aura, par les formules connues de la Trigonométrie,

$\beta ={\frac {b+m}{1-bm}},$

donc

$\alpha =a-{\frac {x\left(1+b^{2}\right)m}{1-bm}},$

où il n’y aura qu’à substituer les valeurs de $a$ et $b.$

Si l’on veut que cette seconde droite soit perpendiculaire à la tangente, on fera $m=\infty ,$ c’est-à-dire ${\frac {1}{m}}=0,$ et l’on aura simplement

$\alpha =a+x\left(b+{\frac {1}{b}}\right)=y+{\frac {x}{y'}}$

et

$\beta =-{\frac {1}{b}}=-{\frac {1}{y'}}.$