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Ainsi $-{\frac {1}{y'}}$ sera la tangente de l’angle que cette perpendiculaire qu’on appelle communément normale fera avec l’axe, et $x+{\frac {\alpha }{\beta }}=-yy'$ sera la partie de l’axe comprise entre le point où elle coupe l’axe et l’ordonnée, c’est-à-dire la sous-normale.

Si les deux coordonnées $x,y$ de la courbe étaient exprimées en fonction d’une troisième variable quelconque, alors, prenant $x'$ et $y'$ pour les fonctions primes de $x$ et $y$ relativement à cette autre variable, il n’y aurait qu’à mettre partout, dans les formules précédentes, ${\frac {y'}{x'}}$ à la place de $y'$ (n^o 50, I^re Partie).

Il serait superflu d’appliquer ces formules à des exemples ; car, pour peu qu’on sache les premiers éléments du Calcul différentiel, on ne peut manquer d’apercevoir l’identité des formules précédentes avec les formules différentielles connues. Il suffit de mettre ${\frac {dy}{dx}}$ à la place de la fonction dérivée $y'.$

8. Prenons maintenant le cercle pour le comparer avec la courbe proposée. L’équation générale du cercle rapportée aux coordonnées rectangles $p$ et $q$ est

$(p-a)^{2}+(q-b)^{2}=c^{2},$

où $a$ et $b$ sont les coordonnées qui répondent au centre et $c$ est le rayon du cercle. De là on tire

$q=b+{\sqrt {c^{2}-(p-a)^{2}}}=\operatorname {F} (p)\,;$

donc

$\operatorname {F} (x)=b+{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}},\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x)=-{\frac {x-a}{\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}}.$

Faisons donc

$\operatorname {F} (x)=f(x)=y,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(x)=f('x)=y',$

et tirons de ces équations les valeurs de $a$ et la seconde donne

${\sqrt {c^{2}-(x-a)^{2}}}=-{\frac {x-a}{y'}},$