Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/194

elle pourrait avoir un contact du troisième ordre, dont les éléments seraient $a,b,c,d$ et se détermineraient par les équations

${\begin{alignedat}{2}y-a-bx-cx^{2}-dx^{3}=&0,\qquad &y'-b-2cx-3dx^{2}=&0,\\y''-2c-6dx=&0,&y'''-6d=&0\,;\end{alignedat}}$

on aurait ainsi

$d={\frac {y'''}{6}},\quad c={\frac {y''}{2}}-{\frac {xy'''}{2}},\quad b=y'-xy''+{\frac {x^{2}y'''}{2}},$

$a=y-xy'+{\frac {x^{2}y''}{2}}-{\frac {x^{3}y'''}{6}},$

et ainsi de suite.

12. Enfin, si l’on demande la courbe la plus simple qui aura avec une courbe proposée un contact d’un ordre quelconque $m,$ prenant $x$ et $y$ pour l’abscisse et l’ordonnée de la proposée, $p$ et $q$ pour celles de la courbe cherchée, et regardant $y$ comme fonction de $x,$ $q$ comme fonction de $p,$ on fera

$q=y+(p-x)y'+{\frac {(p-x)^{2}}{2}}y''+{\frac {(p-x)^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,$

en prenant dans le second membre autant de termes qu’il y a d’unités dans $m+1.$

Car, en prenant les fonctions dérivées relativement à $p$ et faisant $p=x,$ on aura $q=y,$ $q'=y',$ $q''=y'',\ldots$ jusqu’à $q^{m}=y^{m}\,;$ donc ces deux courbes auront, dans le point commun qui répond à $p=x,$ les conditions nécessaires pour un contact de l’ordre $m$^ième (n^o 10).

La courbe représentée par l’équation précédente, et qui est, comme l’on voit, du genre parabolique, aura ainsi, dans le point commun à la courbe proposée, le cours le plus approchant de celui de cette courbe, de manière qu’aucune autre courbe du même genre ne pourra passer entre ces deux si elle n’est pas d’un degré plus haut.

13. La théorie que nous venons de donner sur le contact des courbes n’est qu’une suite de la théorie générale du développement des fonc-