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tions, exposée dans la première Partie. Mais nous avons vu (n^os 29 et suiv., I^re Partie) qu’il y a des cas particuliers où ce développement échappe à la forme générale, et que ces cas sont ceux où une valeur donnée de $x$ rend infinies les fonctions dérivées $f'(x),f''(x),\ldots .$ Alors le développement de $f(x+i)$ contiendra nécessairement, pour cette valeur de $x,$ d’autres puissances de $i$ que les simples puissances $i,\ i^{2},\ldots ,$ et l’analyse des n^os 3 et 4 se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent aucune atteinte à la théorie générale, il est nécessaire, pour ne rien laisser à désirer, de voir comment elle doit être modifiée dans les cas particuliers dont il s’agit.

Supposons donc qu’en faisant $x=m$ la fonction $f(x+i),$ développée en une série ascendante de $i,$ soit de la forme

$f(m)+\mathrm {A} i^{\lambda }+\mathrm {B} i^{\lambda +\mu }+\mathrm {C} i^{\lambda +\mu +\nu }+\ldots ,$

$\mu ,\nu ,\ldots$ étant toujours des nombres positifs.

Je remarque d’abord qu’on peut trouver les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ ainsi que les exposants $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ par une méthode semblable à celle du n^o  3 de la première Partie. On fera d’abord

$f(m+i)=f(m)+i^{\lambda }\mathrm {P} ,$

et l’on prendra pour $i^{\lambda }$ la plus haute puissance de $i$ qui divisera $f(m+i)-f(m),$ après les réductions convenables, de manière que le quotient $\mathrm {P}$ ne devienne ni nul ni infini en faisant $i=0.$ Lorsque $m=0,$ l’exposant $\lambda$ pourra être négatif ; dans tout autre cas, il sera évidemment toujours positif^[1]. On fera ensuite

$\mathrm {P} =\mathrm {A} +i^{\mu }\mathrm {Q} ,$

$\mathrm {A}$ étant la valeur de $\mathrm {P}$ lorsque $i=0,$ et l’on prendra pour $i^{\mu }$ la plus

1. Une inadvertance singulière a été commise ici par Lagrange. L’exposant $\lambda ,$ ne peut jamais être négatif, car le développement de $f(m+i)$ ne peut contenir de puissances négatives de $i$ que si $f(m)$ est infini d’ailleurs l’hypothèsede $m=0$ ne saurait constituer aucune particnlarité on peut toujours faire en sorte qu’il en soit ainsi, par un déplacement de l’origine des coordonnées sur l’axe des abscisses.

   Je n’ai pas cru pouvoir me permettre la moindre altération au texte de l’illustre auteur, et j’ai laissé subsister la faute dans cette nouvelle édition.

   (Note de l’éditeur.)