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haute puissance positive de $i$ qui divisera $\mathrm {P-A} ,$ de manière que le quotient $\mathrm {Q}$ ne devienne ni nul ni infini lorsque $i=0.$ On continuera en supposant

$\mathrm {Q} =\mathrm {B} +i^{\nu }\mathrm {R} ,$

$\mathrm {B}$ étant la valeur de $\mathrm {Q}$ lorsque $i=0,$ et $i^{\nu }$ la plus haute puissance positive de $i$ qui divisera $\mathrm {Q-B} ,$ en sorte que le quotient $\mathrm {R}$ ne soit ni nul ni infini lorsque $i=0\,;$ et ainsi de suite. On aura, de cette manière,

${\begin{aligned}f(m+i)&=f(m)+i^{\lambda }\mathrm {P} =f(m)+i^{\lambda }\mathrm {A} +i^{\lambda +\mu }\mathrm {Q} \\&=f(m)+i^{\lambda }\mathrm {A} +i^{\lambda +\mu }\mathrm {B} +i^{\lambda +\mu +\nu }\mathrm {R} \\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On a, pour trouver les termes successifs d’une série, des méthodes plus courtes ou d’un calcul plus facile, mais la précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autant que l’on veut et de donner la valeur du reste. Nous n’aurons pas besoin, pour notre objet, de connaître ces restes ; il nous suffira de savoir qu’ils peuvent toujours s’exprimer par des quantités de la forme que nous venons de trouver.

Cela posé, considérons la courbe représentée par l’équation

$y=f(x),$

$x$ étant l’abscisse et $y$ l’ordonnée ; supposons qu’elle ait un point commun avec une autre courbe, dont l’ordonnée soit $\operatorname {F} (x)$ et que ce point réponde à l’abscisse $m,$ en sorte que l’on ait $\operatorname {F} (m)=f(m).$ Au delà de ce point, les ordonnées des deux courbes seront $f(m+i),$ $\operatorname {F} (m+i)$ pour une abscisse quelconque $m+i,$ et leur différence, que je désignerai par $\mathrm {D} ,$ sera $f(m+i)-\operatorname {F} (m+i).$

Développons la fonction $\operatorname {F} (m+i)$ comme la fonction $f(m+i),$ et soient

$\operatorname {F} (m+i)=\operatorname {F} (m)+i^{\rho }p,\quad p=\alpha +i^{\sigma }q,\quad q=\beta +i^{\tau }r,\quad \ldots ,$

$\sigma ,\tau ,\ldots$ étant des nombres positifs, et $\alpha ,\beta ,\ldots$ étant les valeurs de $p,$ $q,\ldots$ lorsque $i=0\,;$ on aura d’abord, à cause de $\operatorname {F} (m)=f(m),$

$\mathrm {D} =i^{\lambda }\mathrm {A} -i^{\rho }\alpha +i^{\lambda +\mu }\mathrm {Q} -i^{\rho +\sigma }q+\ldots .$