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De sorte qu’on aura, de cette manière,

${\begin{aligned}{\sqrt {x+i}}&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{{\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}}}={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{2{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {{\sqrt {x+i}}+3{\sqrt {x}}}{8x{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{3}}}i^{3}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}}{16x^{2}{\sqrt {x}}}}-\ldots .\end{aligned}}$

Cette dernière série est celle que l’on trouve par l’extraction actuelle de la racine carrée ou par la formule du binôme.

5. Il serait difficile d’exécuter ces opérations sur des fonctions irrationnelles plus compliquées ; mais, en faisant disparaître les irrationnalités par rapport à la quantité $i,$ l’application de la méthode n’aura plus de difficulté.

Ainsi, en reprenant l’exemple précédent, on partira de l’équation

${\sqrt {x+i}}={\sqrt {x}}+i\mathrm {P} ,$

qui, étant élevée au carré pour dégager l’$i$ de dessous le signe radical, devient, après la division par $i,$

$1=2\mathrm {P} {\sqrt {x}}+i\mathrm {P} ^{2}.$

Faisant $i=0,$ $\mathrm {P}$ devient $p,$ et l’on aura

$1=2p{\sqrt {x}},\quad {\text{d’où}}\quad p={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

On fera donc $\mathrm {P} =p+i\mathrm {Q} ,$ ce qui étant substitué, on aura, après la division par $i,$

$0={\frac {1}{4x}}+2\mathrm {Q} {\sqrt {x}}+{\frac {i\mathrm {Q} }{\sqrt {x}}}+i^{2}\mathrm {Q} ^{2}.$

Faisant $i=0,$ $\mathrm {Q}$ devient $q\,;$ donc on aura

${\frac {1}{4x}}+2q{\sqrt {x}}=0,$