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d’où l’on tire

$q=-{\frac {1}{8x{\sqrt {x}}}}.$

On fera donc $\mathrm {Q} =q+i\mathrm {R} ,$ et ainsi de suite.

On peut, à la vérité, trouver les valeurs de $p,q,r,\ldots$ d’une manière plus expéditive en faisant tout de suite l’équation

${\sqrt {x+i}}={\sqrt {x}}+pi+qi^{2}+ri^{3}+\ldots ,$

l’élevant au carré pour dégager la quantité $i$ de dessous le signe, et comparant ensuite les termes affectés des mêmes puissances de $i$ pour que cette quantité puisse demeurer indéterminée, comme on le suppose mais la méthode précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autant qu’on veut et de donner la valeur exacte du reste. En effet, si l’on voulait, par exemple, s’arrêter au second terme $pi,$ on aurait $\mathrm {Q} i^{2}$ pour la valeur du reste, et l’on pourrait déterminer $\mathrm {Q}$ par la résolution de l’équation en $\mathrm {Q} .$ Dans l’exemple ci-dessus, cette équation est

$i^{2}\mathrm {Q} ^{2}+\mathrm {Q} \left(2{\sqrt {x}}+{\frac {i}{\sqrt {x}}}\right)+{\frac {1}{4x}}=0,$

et, pour la résoudre de manière que l’expression de $\mathrm {Q}$ ne présente pas la quantité $i$ au dénominateur, il n’y a qu’à faire $\mathrm {Q} ={\frac {1}{\mathrm {V} }},$ ce qui réduira l’équation à cette forme,

$\mathrm {V} ^{2}+4\mathrm {V} \left(2x{\sqrt {x}}+i{\sqrt {x}}\right)+4xi^{2}=0,$

d’où l’on tire

$\mathrm {V} =-4x{\sqrt {x}}-2i{\sqrt {x}}\pm 4x{\sqrt {x+i}}\,;$

et, comme $\mathrm {Q}$ ne doit pas devenir infini lorsque $i=0$ (n^o 3), il faudra que $\mathrm {V}$ ne devienne pas nul dans le même cas ; par conséquent, il faudra prendre le signe inférieur du radical ; on aura ainsi

$\mathrm {V} =-2{\sqrt {x}}(2x+i)-4x{\sqrt {x+i}},$