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17. En examinant la manière dont nous sommes parvenus à cette solution, on verra qu’elle dépend de cette circonstance que les fonctions primes de $a$ et $b$ regardés comme fonctions de $x,y,y'$ sont entre elles dans un rapport qui ne contient pas la fonction seconde $y''\,;$ en effet, ayant $b=y'$ et $a=y-xy',$ on a

$b'=y''\quad {\text{et}}\quad a'=-xy'',$

ce qui donne

${\frac {a'}{b'}}=-x,$

de sorte que, prenant la fonction prime de l’équation

$(a+mb)(a+nb)=\mathrm {K}$

et divisant par $b',$ on a une équation qui est également du premier ordre, et le résultat de l’élimination de $y'$ entre ces deux équations donne l’équation aux sections coniques trouvées plus haut. Or je considère que les quantités $a$ et $b$ sont données par les équations (n^o 11)

$y=a+bx\quad {\text{et}}\quad y'=b.$

Ainsi l’équation dont il s’agit est le résultat de l’élimination de $a,b$ et $y'$ entre les équations

$y=a+bx,\quad y'=b,\quad (a+mb)(a+nb)=\mathrm {K}$

et l’équation prime de cette dernière divisée par $b'.$ On obtiendra donc aussi le même résultat en éliminant d’abord, une des deux quantités $a$ ou $b$ entre les deux équations

$y=a+bx\quad {\text{et}}\quad (a+mb)(a+nb)=\mathrm {K} ,$

et ensuite éliminant l’autre par le moyen de l’équation résultante et de son équation prime prise en faisant varier cette dernière quantité. Ainsi, éliminant d’abord $a,$ on a l’équation

$\left[y+(m-x)b\right]\left[y+(n-x)b\right]=\mathrm {K} .$