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$a$ étant un paramètre indéterminé, il s’ensuit (n^o 10) que l’équation de la courbe cherchée doit donner pour $y$ et pour $y'$ des fonctions de $x$ de la même forme que celles qui résultent des équations

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'=0,$

en désignant par $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'$ la fonction prime de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ relative à $x$ et $y.$ Or, $a$ étant une quantité indéterminée, on peut la supposer telle que la courbe cherchée soit représentée par la même équation

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]=0,$

pourvu que l’équation prime de celle-ci soit aussi de la même forme

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'=0.$

Mais, si $a$ est une quantité variable, la fonction prime complète de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ sera, comme nous l’avons vu ci-dessus,

$\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]'+a'\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right].$

Donc la condition dont il s’agit sera remplie si l’on détermine $a$ par l’équation

$\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right]=0,$

ce qui donnera la dernière solution que nous venons de trouver.

Toute équation entre $x,y$ et un paramètre indéterminé $a,$ que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par

$f(x,y,a)=0,$

représente, en donnant successivement à $a$ toutes les valeurs possibles, une famille d’une infinité de courbes qui varient de forme ou de position, ou de l’une et de l’autre à la fois, à raison des variations du paramètre, et, si l’on élimine ce paramètre par le moyen des fonctions primes, l’équation résultante du premier ordre appartiendra à toute cette famille de courbes ; elle appartiendra donc aussi à la courbe formée par toutes ces courbes, et qui les enveloppera, ayant avec cha-