Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/211

Si donc on tire de l’équation

$\varphi (a,b)=0,$

donnée par les conditions du problème entre les éléments du contact $a,b,$ la valeur de $b$ en $a,$ et qu’on suppose $b=\psi (a)$ ($\psi$ étant aussi la caractéristique d’une fonction), qu’on substitue cette valeur dans l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

de la courbe du contac t, qu’ensuite on prenne la fonction prime de $\operatorname {F} \left[x,y,a,\psi (a)\right]$ relativement à $a$ seul, fonction que nous désignerons par $a'\operatorname {F} '\left[a,\psi (a)\right],$ $a'$ étant la fonction prime de $a$ regardé comme fonction de $x,$ on aura ces deux équations,

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '[a,\psi (a)]=0,$

d’où il faudra éliminer $a\,;$ et il est visible que le résultat ne sera autre chose que l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, dont

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0$

sera l’équation primitive complète (n^o 60, I^re Partie).

La courbe représentée par cette équation singulière sera proprement celle qui résout le problème, et qui aura la propriété d’être touchée dans chaque point par une des courbes représentées par l’équation

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0,$

$a$ étant constant pour la même courbe, mais variable d’une courbe à l’autre.

19. La manière dont nous sommes parvenus à cette dernière solution est la plus directe, analytiquement parlant ; mais on y peut parvenir plus simplement par la considération suivante. Puisque le problème consiste à trouver la courbe qui aura, dans chaque point, un contact du premier ordre avec la courbe représentée par l’équation

$\operatorname {F} [x,y,a,\psi (a)]=0,$