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L’autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction $y''$ de l’équation

$\varphi (\mathrm {P,Q,R} )=0,$

et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités $a,b,c,\ldots ,$ et $y'',$ au moyen des équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0,$

$\varphi (a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c)=0.$

Or, en regardant $a,b,c$ comme des fonctions de $x,y,$ la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)$ sera

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c),$

en dénotant simplement par $\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)$ prises relativement à $a,b,c,$ regardées comme seules variables ; donc les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0$

emporteront celle-ci :

$a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)+c'\operatorname {F} '(c)=0.$

De plus, la fonction prime de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'$ sera, par la même raison,

$\operatorname {F} (x,a,b,c)''+a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)',$

en dénotant de même par $\operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',\operatorname {F} '(c)'$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'$ prises relativement à $a,b,c,$ regardées comme seules variables ; et, comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités $a,b,c$ comme indépendantes de $x$ et $y,$ il est aisé de prouver, par les principes établis dans la I^re Partie (n^o 74), que les fonctions $\operatorname {F} '(a)',\operatorname {F} '(b)',$$\operatorname {F} '(c)'$ seront la même chose que les fonctions