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primes des fonctions $\operatorname {F} '(a),\operatorname {F} '(b),\operatorname {F} '(c),$ prises relativement à $x$ et $y.$ Donc les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0$

emporteront encore nécessairement cette autre-ci :

$a'\operatorname {F} '(a)'+b'\operatorname {F} '(b)'+c'\operatorname {F} '(c)'=0.$

Si donc on combine les deux équations

${\begin{aligned}&\operatorname {F} '(a)\ +{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)\ +{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)\ =0,\\&\operatorname {F} '(a)'+{\frac {b'}{a'}}\operatorname {F} '(b)'+{\frac {c'}{a'}}\operatorname {F} '(c)'=0\end{aligned}}$

avec l’équation

$\varphi '(a)+{\frac {b'}{a'}}\varphi '(b)+{\frac {c'}{a'}}\varphi '(c)=0,$

qui résulte de $\varphi (a,b,c)=0,$ en prenant les fonctions primes, on aura, par l’élimination des quantités ${\frac {b'}{a'}}$ et ${\frac {c'}{a'}},$ une équation en $a,b,c$ et $x,y,y',$ sans $y'',$ laquelle sera équivalente à celle qu’on aurait déduite des deux équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)''=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {M} \varphi '(a)+\mathrm {N} \varphi '(b)+\mathrm {L} \varphi '(c')=0$

par l’élimination de $y''.$ Ainsi, il n’y aura plus qu’à éliminer $a,b,c$ au moyen des équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,\quad \operatorname {F} (x,y,a,b,c)'=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (a,b,c)=0,$

et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation

$\varphi (\mathrm {P,Q,H} )=0,$

laquelle, ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires, ne pourra être qu’une équation primitive singulière.

En effet, si, pour simplifier la solution, on commence par tirer la valeur $c$ de l’équation

$\varphi (a,b,c)=0,$