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CHAPITRE V.

Des plus grandies et des moindres valeurs des fonctions d’une variable.

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24. Il y a un genre de questions qui, quoique indépendantes de la considération des tangentes, peuvent néanmoins s’y rapporter : ce sont celles qu’on appelle de maximis et minimis, et qui consistent à trouver, pour une fonction donnée d’une variable, la valeur de cette variable qui rend celle de la fonction la plus grande ou la plus petite. Comme les courbes ne sont que la représentation ou le tableau de toutes les valeurs de la fonction de l’abscisse, représentée par l’ordonnée, il est visible que la question de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction donnée d’une variable revient à déterminer la plus grande ou la plus petite ordonnée de la courbe dont cette variable serait l’abscisse et la fonction donnée serait l’ordonnée.

Or l’inspection seule de la courbe suffit pour faire voir que ces ordonnées ne peuvent être que celles qui répondent aux points dont les tangentes seront parallèles à l’axe des abscisses. Si la courbe est convexe à l’axe, l’ordonnée sera alors évidemment un minimum, et, si la courbe est concave, l’ordonnée est un maximum.

Nous avons vu (n^o 7) que la tangente de l’angle que la tangente d’une courbe fait avec l’axe est exprimée en général par $y',$ $y$ étant l’ordonnée que l’on suppose fonction de l’abscisse $x\,;$ donc, pour que cette tangente devienne parallèle à l’axe, il faut que l’on ait $y'=0\,;$ or, si l’on fait $y'=0$ dans les expressions des coordonnées $a$ et $b$ (n^o 9), qui déterminent le lieu du centre du cercle osculateur, on a

$a=x,\quad b=y+{\frac {1}{y''}},$