d’où l’on voit que, si est une quantité positive, ce centre tombera au delà de la courbe, qui sera par-conséquent, convexe vers l’axe, et que, si est une quantité négative, le même centre tombera en deçà de la courbe, c’est-à-dire du côté de l’axe, et que, par conséquent, la courbe sera alors concave vers l’axe. Donc, la fonction sera un maximum ou un minimum lorsque sa fonction prime sera nulle, et, en particulier, elle sera un minimum lorsque la fonction seconde sera en même temps une quantité positive, et un maximum lorsque sera une quantité négative c’est en quoi consiste la méthode connue de maximis et minimis.
25. Mais il n’est pas inutile de faire voir comment cette méthode peut se déduire directement de l’analyse des fonctions sans la considération intermédiaire des courbes.
Soit la fonction de dont on demande le maximum ou le minimum. Soit la valeur de qui répond au maximum ou au minimum il faudra que la valeur de soit toujours plus grande ou toujours moindre que la valeur de quelle que soit la quantité positive ou négative, et quelque petite qu’elle puisse être. Je dis quelque petite que la quantité puisse être, car une quantité est censée devenir un maximum ou un minimum lorsqu’elle parvient au terme de son accroissement ou de sa diminution, de manière qu’en deçà et au delà de ce terme elle se trouve moindre dans le cas du maximum ou plus grande dans le cas du minimum que dans le même terme. Concevons à la place de la condition du maximum sera
et celle du minimum sera
quelque petit que soit positif ou négatif.
Développons la fonction en série par nos formules (no 40, Ire Partie), et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes ; on
