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puisque la valeur de $i^{2}$ est toujours positive, il faudra que l’on ait

$f''(x)<0$ pour le maximum et $f''(x)>0$ pour le minimum.

Si l’on fait $f''(x)=0,$ alors, reprenant le développementde $f(x+i)$ et employant un terme de plus, on aurait

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;$

donc, puisqu’on suppose $f'(x)=0$ et $f''(x)=0,$ on aurait pour le maximum la condition

${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)<0,$

et pour le minimum la condition opposée. Or on peut prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)$ surpasse celle du terme ${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;$ alors la valeur de

${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)$

sera positive ou négative, suivant celle de ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x).$ Mais celle-ci change de signe avec la quantité $i$ donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins qu’on n’ait $f'''(x)=0.$

Employons encore le terme suivant dans le développement de $f(x+i)\,;$ on aura

$f(x+i)=$

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j),$

et les conditions du minimum ou du maximum deviendront

${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j)<0$ ou $>0,$

à cause de $f'(x)=0,\ f''(x)=0$ et $f'''(x)=0.$ On prouvera ici, comme