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aura ainsi

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),$

$j$ étant une quantité renfermée entre les limites $o$ et $i.$ Il faudra donc que l’on ait

$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)<0$ pour le maximum et $>0$ pour le minimum.

Or nous avons déjà vu (n^o 3) que l’on peut prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme $if'(x)$ soit plus grande que celle du terme ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),$ ce qui étant vrai pour une valeur de $i$ aura lieu aussi pour toutes les valeurs de $i$ plus petites. ; donc la quantité

$if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)$

deviendra alors positive ou négative, suivant que la quantité $if'(x)$ le sera. Mais celle-ci change de signe avec la quantité $i\,;$ donc il sera, impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins que l’on n’ait $f'(x)=0.$

Prenons maintenant dans le développement de $f(x+i)$ un terme de plus ; nous aurons

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;$

donc, à cause de $f(x)=0,$ il faudra que l’on ait

${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)<0$ pour le maximum et $>0$ pour le minimum.

On peut aussi prendre $i$ assez petit pour que la valeur absolue du terme ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)$ soit plus grande que celle de ${\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;$ alors la quantité

${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)$

sera positive ou négative, suivant que celle de ${\frac {i^{2}}{2}}f''(x)$ le sera. Donc,