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jours en dehors et la plus courte en dedans de l’arc, comme il est facile de s’en convaincre par la construction, de sorte que la zone conoïdique décrite par l’arc se trouvera nécessairement renfermée entre les zones coniques décrites par la tangente $i\varphi (x)$ et par la sécante $i\varphi (x+i).$

Or on sait, par la Géométrie, que la surface convexe d’un cône tronqué est égale à son côté multiplié par la demi-somme des circonférences des deux bases. Donc, si l’on désigne par $\pi$ la circonférence du cercle dont le rayon $=1,$ la surface de la zone conique décrite par la tangente $i\varphi (x)$ sera

$i\varphi (x)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\pi ,$

puisque les rayons des deux bases sont l’un $f(x)$ et l’autre $f(x)+if'(x),$ et la surface de l’autre zone décrite par la tangente ou sécante $i\varphi (x+i)$ sera

$i\varphi (x+i)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+i)\right]\pi ,$

car il est facile de voir que les rayons des bases de ce tronc de cône seront $f(x)$ et $f(x)+if'(x+i).$

Si donc on désigne par $\Phi (x)$ la fonction de l’abscisse $x$ qui exprime la surface du conoïde, il est clair que la zone conoïde sera exprimée par la difference $\Phi (x+i)-\Phi (x)$ et que cette différence devra être renfermée entre les deux quantités

$i\pi \varphi (x)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\quad {\text{et}}\quad i\pi \varphi (x+i)\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+i)\right],$

en donnant à $i$ une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra, d’où l’on pourra conclure, par un raisonnement analogue à celui du n^o 27, que cette condition ne pourra avoir lieu, à moins que l’on n’ait

$\Phi '(x)=\pi \varphi (x)f(x)=\pi f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}.$

Donc on aura la surface du conoïde proposé en prenant la fonction pri-