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et, si $x$ et $y$ étaient données en fonction d’une autre variable, comme $t,$ alors, en désignant par $x',y',s'$ les fonctions primes relativement à cette variable, il faudrait substituer ${\frac {y'}{x'}}$ et ${\frac {s'}{x'}}$ à la place de $y'$ et $s'$ (n^o 28), ce qui donnerait cette équation

$s'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

entre les coordonnées et l’arc.

Suivant le Calcul différentiel, les fonctions dérivées $s'$ et $y'$ seraient exprimées par ${\frac {ds}{dx}}$ et ${\frac {dy}{dx}},$ et l’équation

$s'={\sqrt {1+y'^{2}}}$

deviendrait

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$

formule connue des rectifications.

30. Si l’on imagine que la courbe proposée, tournant autour de l’axe des abscisses, engendre un conoïde, il est visible que les deux ordonnées $f(x)$ et $f(x+i)$ décriront en même temps deux cercles dont ces coordonnées seront les rayons, que l’arc de la courbe compris entre ces deux coordonnées décrira une zone conoïdique, et que les deux tangentes menées aux extrémités de cet arc décriront des zones coniques.

Mais, quoique l’une de ces deux tangentes soit toujours plus grande et l’autre plus petite que la longueur de l’arc, comme nous venons de le démontrer, néanmoins, comme elles tombent toutes les deux du même côté de l’arc, il est possible que les zones coniques qu’elles décrivent soient à la fois plus grandes ou plus petites que la zone conoïdique décrite par l’arc. Pour éviter cet inconvénient, il n’y a qu’à transporter parallèlement à elle-même la seconde tangente, qui répond à l’extrémité de l’ordonnée $f(x+i),$ de manière que le point où cette tangente est terminée par la première ordonnée $f(x)$ tombe à l’extrémité de cette ordonnée et devienne sécante de la courbe. Alors cette sécante et la tangente au même point tomberont l’une d’un côté et l’autre de l’autre côté de l’arc, et même la plus longue tombera tou-