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Pour un autre point quelconque répondant à l’abscisse $x+i,$ les ordonnées $y$ et $z$ seront $f(x+i),$ $\varphi (x+i),$ et les ordonnées $q,r$ seront $\operatorname {F} (x+i),$ $\Phi (x+i)\,;$ et, faisant, pour abréger,

$d=f(x+i)-\operatorname {F} (x+i),\quad \delta =\varphi (x+i)-\Phi (x+i),$

il est facile de concevoir que la distance $\mathrm {D}$ entre les points des deux courbes qui répondent à la même abscisse $x+i$ sera exprimée par

$\mathrm {D} ={\sqrt {d^{2}+\delta ^{2}}}.$

De là, par une analyse semblable à celle qui a été développée au commencement de cette deuxième Partie, on prouvera que, si $f'(x)=\operatorname {F} '(x),$ $\varphi '(x)=\Phi '(x),$ il sera impossible qu’aucune autre courbe donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre les deux courbes dont il s’agit.

Si l’on avait de plus

$f''(x)=\operatorname {F} ''(x)\quad {\text{et}}\quad \varphi ''(x)=\Phi ''(x),$

on prouverait de la même manière qu’aucune autre courbe pour laquelle ces équations n’auraient pas lieu ne pourrait passer entre les mêmes courbes ; et ainsi de suite.

Ainsi, en appliquant aux courbes à double courbure les mêmes notions des différents ordres de contact des courbes ordinaires, on en conclura que les deux premières conditions détermineront un contact du premier ordre, que les deux suivantes détermineront un contact du second ordre ; et ainsi de suite.

En général, en nommant $x,y,z$ les coordonnées d’une courbe proposée et $p,q,r$ les coordonnées de la courbe donnée, pour laquelle on demande les conditions du contact d’un ordre donné avec la courbe proposée, si

$\operatorname {F} (p,q,r)=0\quad {\text{et}}\quad \Phi (p,q,r)=0$

sont les deux équations de la courbe donnée, on aura, pour un contact