Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/244

du premier ordre, les quatre équations

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} (x,y,z)=&0,\qquad &\operatorname {F} (x,y,z)'=&0,\\\Phi (x,y,z)=&0,&\Phi (x,y,z)'=&0\,;\end{alignedat}}$

pour un contact du second ordre, on aura de plus les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,z)''=0,\quad \Phi (x,y,z)''=0,$

et ainsi de suite, en regardant, dans ces fonctions dérivées, $y$ et $z$ comme fonctions de $x.$ On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires $a,b,c,\ldots ,$ qui entreront dans les fonctions données $\operatorname {F} (p,q,r)$ et $\varphi (p,q,r),$ et qu’on pourra appeler, comme ci-dessus (n^o 10), éléments du contact, lorsqu’elles seront déterminées en fonction de $x,y,z,y',z',\ldots .$

33. Prenons pour la courbe donnée une ligne droite déterminée par les deux équations

$q=a+bp,\quad r=c+dp\,;$

pour qu’elle ait un contact du premier ordre, c’est-à-dire pour qu’elle soit tangente d’une courbe quelconque proposée et rapportée aux coordonnées $x,y,z,$ on aura ces quatre équations

$y=a+bx,\quad z=c+dx,\quad y'=b,\quad z'=d,$

d’où l’on tire

$a=y-y'x,\quad c=z-z'x,$

de sorte que les équations de la tangente rapportée aux coordonnées $p,q,r$ seront

$q=y-y'x+y'p,\quad r=z-z'x+z'p.$

Il est facile de voir que ces deux équations représentent les deux tangentes des courbes planes qui forment les projections de la courbe proposée sur les deux plans des $x$ et $y$ et des $x$ et $z$ (n^o 6), de sorte que, pour mener une tangente à une courbe à double courbure, il suffira toujours de mener les tangentes à ses deux projections, et la