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que, si l’on nomme $\alpha$ l’inclinaison du plan représenté par cette équation sur le plan des coordonnées $p$ et $q,$ et $\beta$ l’inclinaison de la ligne d’intersection de ces deux plans à l’axe des abscisses $p,$ on aura

$b=\sin \beta \operatorname {tang} \alpha ,\quad c=\cos \beta \operatorname {tang} \alpha ,$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {b^{2}+c^{2}}},\quad \operatorname {tang} \beta ={\frac {b}{c}}.$

Donc, puisque les axes des coordonnées $x,y,z$ sont les mêmes que ceux des coordonnées $p,q,r,$ les angles $\alpha$ et $\beta ,$ relativement au plan tangent, seront pareillement déterminés par ces formules :

$\operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},\quad \operatorname {tang} \beta ={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.$

40. En général,

$z=f(x,y)$

étant l’équation de la surface proposée et

$r=\operatorname {F} (p,q)$

celle d’une surface donnée, si l’on veut que ces deux surfaces aient un point commun qui réponde aux coordonnées $x,y,z,$ il faudra que l’équation

$r=\operatorname {F} (p,q)$

ait lieu aussi en faisant $p=x,$ $q=y,$ $r=z,$ ce qui donnera

$z=\operatorname {F} (x,y).$

Ensuite, si l’on considère-les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes coordonnées $x+i$ et $y+o,$ et qu’on nomme $\mathrm {D}$ la distance entre l’un et l’autre, c’est-à-dire la partie de l’ordonnée qui se trouvera comprise entre les deux surfaces, il est visible qu’on aura

$\mathrm {D} =f(x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y+o).$

Développons ces deux fonctions par les formules du n^o 78 (I^re Partie), en nous arrêtant d’abord aux termes du premier ordre ; nous au-