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mière Partie et en s’arrêtant aux termes du premier ordre. On aura ainsi

${\begin{aligned}f(x+i,y+o)=&f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+\\&+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\\&+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o),\end{aligned}}$

et la valeur de la distance $\mathrm {D}$ se réduira à

$\mathrm {D} ={\frac {i^{2}}{2}}f''(x+\lambda i,y+\lambda o)+iof'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o).$

Pour tout autre plan représenté par l’équation

$r=\alpha +\beta p+\gamma q$

et ayant le même point commun avec le premier plan et la surface, cette distance, que j’appellerai $\Delta ,$ contiendrait, outre les termes précédents, encore ceux-ci du premier ordre

$i\left[f'(x,y)-\beta \right]+o\left[f_{_{'}}(x,y)-\gamma \right],$

d’où il est facile de conclure qu’on pourra toujours prendre $i$ et $o$ assez petits pour que cette distance $\Delta$ surpasse la distance $\mathrm {D} .$ Donc il sera impossible que ce dernier plan puisse passer entre la surface et le plan représenté par l’équation

$r=a+bp+cq\,;$

par conséquent, celui-ci sera tangent de la surface donnée, en faisant, comme ci-dessus,

$a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}},$

d’où l’on voit que la position du plan tangent dépend des deux fonctions primes $z'$ et $z_{_{'}}.$

En effet, il est facile de trouver, d’après l’équation

$r=a+bp+cq,$