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en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y\,;$ de sorte que, si l’on désigne simplement par $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ les fonctions primes de $\operatorname {F} (x,y,z)$ prises relativement à $x,y,z$ seuls, les deux dernières équations deviendront

$\operatorname {F} '(x)+z'\operatorname {F} '(z)=0,\quad \operatorname {F} '(y)+z_{_{'}}\operatorname {F} '(z)=0.$

Donc, si la surface proposée est représentée par l’équation

$f(x,y,z)=0,$

et que la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec celle-là, soit représentée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

la première donnera, en prenant les fonctions primes relatives à $x$ et $y,$ ces deux-ci :

$f'(x)+z'f'(z)=0,\quad f'(y)+z_{_{'}}f'(z)=0.$

Ces deux équations combinées avec les deux précédentes, de manière à en chasser les dérivées $z'$ et $z_{_{'}},$ on aura ces deux-ci :

${\frac {f'(x)}{\operatorname {F} '(x)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},\quad {\frac {f'(y)}{\operatorname {F} '(y)}}={\frac {f'(z)}{\operatorname {F} '(z)}},$

d’où il s’ensuit que les trois fonctions dérivées $f'(x),f'(y),f'(z)$ doivent être respectivement proportionnelles aux fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z).$

41. Si, dans l’expression générale de la distance $\mathrm {D} ,$ on développe les deux fonctions qu’elle contient, en poussant le développement jusqu’aux secondes dimensions de $i$ et $o,$ et qu’on suppose que les trois équations ci-dessus aient déjà lieu, on aura simplement

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&{\frac {i^{2}}{2}}\left[z''-\operatorname {F} ''(x,y)\right]+io\left[z'_{_{'}}-\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)\right]+{\frac {o^{2}}{2}}\left[z_{_{''}}-\operatorname {F} _{_{''}}(x,y)\right]\\&+{\frac {i^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '''+{\frac {i^{2}o}{2}}\mathrm {A} ''_{_{'}}+{\frac {io^{2}}{2}}\mathrm {A} '_{_{''}}+{\frac {o^{3}}{2.3}}\mathrm {A} '_{_{'''}},\end{aligned}}$