Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/259

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {A} '''=f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\mathrm {A} ''_{_{'}}\ =f''_{_{'}}\ (x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} ''_{_{'}}\,(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’équation

$r=\operatorname {F} (p,q)$

de la surface donnée est telle qu’on puisse encore satisfaire aux trois équations

$z''=\operatorname {F} ''(x,y),\quad z'_{_{'}}=\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y),\quad z_{_{''}}=\operatorname {F} _{_{''}}(x,y),$

les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l’expression de $\mathrm {D} ,$ et l’on prouvera aisément qu’il sera toujours possible de prendre les quantités $i$ et $o$ assez petites pour que la distance $\mathrm {D}$ soit plus petite que la distance $\Delta$ pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, d’où il suit qu’il sera impossible que cette surface passe entre la surface donnée, dont l’équation est

$r=\operatorname {F} (p,q),$

et la proposée, dont l’équation est

$z=f(x,y)\,;$

et ainsi de suite.

Si l’on représente en général par

$\operatorname {F} (p,q,r)=0$

l’équation de la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec une autre surface dont les coordonnées sont $x,y,z,$ les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci,

$\operatorname {F} ''(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{''}}(x,y,z)=0,$

en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y\,;$ et ainsi des autres.

On pourra donc étendre aux surfaces la théorie des contacts de différents ordres que nous avons exposée relativement aux lignes courbes