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Pour faire l’autre substitution, soient $f(x)+f'(x)o+\ldots ,$ $p+p'o+\ldots ,$ $q+q'u+\ldots ,$ $r+r'o+\ldots$ ce que deviennent les fonctions $f(x),p,q,r,$ en y mettant $x+o$ pour $x$ et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de $o\,;$ il est clair que la même formule deviendra

$f(x)+pi+qi^{2}+ri^{3}+si^{4}+\ldots +f'(x)+p'io+q'i^{2}o+r'i^{3}o+\ldots .$

Comme ces deux résultats doivent être identiques quelles que soient les valeurs de $i$ et de $o,$ on aura, en comparant les termes affectés de $o,$ de $io,$ de $i^{2}o,$ etc.,

$p=f'(x),\quad 2q=p',\quad 3r=q',\quad 4s=r',\quad \ldots .$

Maintenant, de même que $f'(x)$ est la première fonction dérivée de $f(x),$ il est clair que $p'$ est la première fonction dérivée de $p,$ que $q'$ est la première fonction dérivée de $q,$ $r'$ la première fonction dérivée de $r,$ et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par $f'(x)$ la première fonction dérivée de $f(x),$ par $f''(x)$ la première fonction dérivée de $f'(x),$ par $f'''(x)$ la première fonction dérivée de $f''(x),$ et ainsi de suite, on aura

$p=f'(x),\quad {\text{et de là}}\quad p'=f''(x)\,;$

donc

$q={\frac {p'}{2}}={\frac {f''(x)}{2}},\quad {\text{et de là}}\quad q'={\frac {f'''(x)}{2}}\,;$

donc

$r={\frac {q'}{3}}={\frac {f'''(x)}{2.3}},\quad {\text{et de là}}\quad r'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3}}\,;$

donc

$s={\frac {r'}{4}}={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}},\quad {\text{et de là}}\quad s'={\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x)}{2.3.4}}\,;$

et ainsi de suite.

Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction $f(x+i)\,;$ on aura

$f(x+i)=f(x)+f'(x)i+{\frac {f''(x)}{2}}i^{2}+{\frac {f'''(x)}{2.3}}i^{3}+{\frac {f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)}{2.3.4}}i^{4}+\ldots .$