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Cette nouvelle expression a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

9. Nous appellerons la fonction $f(x)$ fonction primitive par rapport aux fonctions $f'(x),f''(x),\ldots$ qui en dérivent, et nous appellerons celles-ci fonctions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première fonction dérivée $f'(x)$ fonction prime, la seconde fonction dérivée $f''(x)$ fonction seconde, la troisième fonction dérivée $f'''(x)$ fonction tierce, et ainsi de suite.

De la même manière, si $y$ est supposée une fonction de $x,$ nous dénoterons ses fonctions dérivées par $y',y'',y'',\ldots ,$ de sorte que, $y$ étant une fonction primitive, $y'$ sera sa fonction prime, $y''$ en sera la fonction seconde, $y'''$ la fonction tierce, et ainsi de suite.

De sorte que, $x$ devenant $x+i,$ $y$ deviendra

$y+y'i+{\frac {y''i^{2}}{2}}+{\frac {y'''i^{3}}{2.3}}+\ldots .$

Ainsi, pourvu qu’on ait un moyen d’avoir la fonction prime d’une fonction primitive quelconque, on aura, par la simple répétition des mêmes opérations, toutes les fonctions dérivées, et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.

Au reste, pour peu qu’on connaisse le Calcul différentiel, on doit voir que les fonctions dérivées $y',y'',y''',\ldots ,$ relatives à $x,$ coïncident avec les expression ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\ldots .$