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Il y a donc, à chaque point de la surface, deux branches qui se coupent et qui répondent l’une à une ligne de plus grande et l’autre à une ligne de moindre courbure, et l’angle sous lequel elles se coupent dépend de la double valeur de la quantité $y',$ qui est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente de la courbe de projection sur le plan des $x$ et $y$ avec l’axe fixe des $x.$ Or, comme la position de ce plan est arbitraire, on peut la prendre de manière qu’il coïncide avec le plan tangent de la surface ; alors la projection de la courbe se confondra avec la courbe même, et les deux valeurs de $y'$ deviendront les tangentes des angles que les tangentes des deux branches de plus grande et de moindre courbure feront avec une même ligne ; par conséquent, la différence de ces angles sera l’angle cherché sous lequel ces branches se coupent ; donc, nommant $\alpha$ et $\beta$ les deux valeurs de $y',$ la tangente de cet angle sera, par les formules connues,

${\frac {\alpha -\beta }{1+\alpha \beta }}=\mathrm {\frac {\sqrt {B^{2}+4AC}}{A-C}} .$

Mais il est facile de voir, par les formules du n^o 38, que, pour que le plan tangent d’une surface coïncide avec le plan des $x$ et $y,$ il faut que les valeurs de $z'$ et $z_{_{'}}$ soient nulles. Faisant donc, dans les expressions de $\mathrm {A,B,C} ,$

$z'=0,\quad z_{_{'}}=0,$

on aura

$\mathrm {A} =z'_{_{'}},\quad \mathrm {B} =z_{_{''}}-z'',\quad \mathrm {C} =z'_{_{'}},$

ce qui donne

$\mathrm {A-C} =0.$

Ainsi la tangente de l’angle dont il s’agit sera infinie, et, par conséquent, l’angle sera droit, d’où l’on doit conclure, en général, que les lignes de plus grande et de moindre courbure d’une surface quelconque se coupent toujours à angle droit.

46. La propriété du maximum et du minimum n’est pas la seule qui caractérise ces lignes : elles sont encore distinguées par rapport à leurs