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En prenant les fonctions dérivées, on aura

${\begin{aligned}z'\ =&\quad \ (x-y)+b\ (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)+d\ (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y),\\z_{_{'}}\ =&-(x-y)-\mathrm {B} (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)-\mathrm {D} (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y),\\z''=&1+b^{2}\ +d^{2},\\z_{_{''}}=&1+\mathrm {B^{2}+D^{2}} ,\\z'_{_{'}}\ =&-1-b\mathrm {B} -d\mathrm {D} .\end{aligned}}$

Donc : 1^o On aura, pour la détermination des deux inconnues $x$ et $y,$ les équations

${\begin{aligned}x-y+b\ (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)&+d\ (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)=0,\\x-y+\mathrm {B} (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)&+\mathrm {D} (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)=0.\end{aligned}}$

2^o Puisque la valeur de $z''$ est nécessairement positive, il ne pourra y avoir que le minimum, mais il faudra de plus que l’on ait la condition

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0,$

savoir

$\left(1+b^{2}+d^{2}\right)\left(1+\mathrm {B^{2}+D^{2}} \right)-(1+b\mathrm {B} +d\mathrm {D} )^{2}>0.$

Or c’est ce qui a lieu quelles que soient les valeurs de $b,d,$ $\mathrm {B,D} ,$ car la condition précédente peut se mettre sous cette forme :

$(b-\mathrm {B} )^{2}+(d-\mathrm {D} )^{2}+(b\mathrm {D} -d\mathrm {B} )^{2}>0.$

Comme les équations en $x$ et $y$ sont linéaires, la détermination de ces quantités n’a aucune difficulté ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que ce problème est susceptible d’une solution géométrique fort élégante.

54. On peut encore, dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs indéterminées, considérer toutes les variables à la fois, ce qui est plus direct et plus lumineux. Soit, en effet,

$f(x,y,z,u,\ldots )$

la fonction proposée ; si l’on suppose que les quantités $x,y,z,u,\ldots$