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aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra que, en substituant $x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots$ à la place de $x,y,z,u,\ldots$ dans la fonction dont il s’agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum et toujours plus grande dans le cas du minimum, quelles que soient les valeurs de $p,q,r,s,\ldots$ et quelque petites qu’elles soient c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum.

Développons la fonction

$f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )$

suivant les puissances et les produits des quantités $p,q,r,s,\ldots$ par les formules du théorème général (n^o 78, I^re Partie), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.

Si l’on désigne simplement (ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici) par $f'(x),f'(y),f'(z),f'(u),\ldots$ les fonctions primes de la fonction $f(x,y,z,u,\ldots ),$ prises relativement à $x,y,z,u,\ldots$ considérés séparément, et qu’on désigne de plus par $f''(x),f''(x,y),f''(y),$ $f''(x,z),f''(y,z),$ $f''(z),\ldots$ les fonctions secondes de la fonction

$f(x+\lambda p,y+\lambda q,z+\lambda r,u+\lambda s,\ldots ),$

prises relativement à $x$ seul, à $x$ et $y$, à $y$ seul, à $x$ et $z,$ à $y$ et $z,$ et ainsi de suite, on aura

$f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )$

$=f(x,y,z,u,\ldots )+pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+prf''(x,z)$

$+{\frac {1}{2}}r^{2}f''(z)+qrf''(y,z)+\ldots .$

Le coefficient $\lambda$ désigne un nombre indéterminé compris entre $0$ et $1,$ et qui sera le même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.

Donc il faudra que la quantité

$pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots$

$\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+\ldots$