Les conditions que nous venons de trouver deviendront donc celles du maximum ou minimum de la fonction en faisant, pour le minimum
et pour le maximum
Il est facile de voir l’accord de ces résultats avec ceux du no 52 ; mais la méthode précédente a l’avantage de fournir un moyen simple d’étendre ces résultats à un nombre quelconque de variables.
57. Les principes exposés jusqu’ici sur la théorie de maximis et minimis conduisent à cette conclusion générale Si, dans une fonction quelconque des variables on substitue à la place de ces variables les quantités et qu’on développe la fonction suivant les puissances et les produits des quantités les termes où ces quantités ne se trouveront qu’à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro, donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum ; ensuite on considérera la quantité composée de tous les termes où formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cette quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative, quelles que puissent être les valeurs de
Si tous ces termes s’évanouissaient à la fois, il faudrait alors, pour l’existence du maximum ou minimum, que tous les termes où formeraient trois dimensions disparussent aussi à la fois, et que la quantité composée des termes où formeraient quatre dimensions fût toujours positive pour le minimum et toujours négative pour le maximum, ayant des valeurs quelconques ; et ainsi de suite ce qui répond, comme l’on voit, au théorème du no 25.
Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent une quantité de la forme
